乘积型：解 y' = x*y

一阶常微分方程 RK4 数值解

方程 dy/dx = f(x, y)

支持 sin cos tan exp log sqrt pow abs 与常量 pi、e，变量 x、y；乘法需显式写*，幂用^或pow。

x₀（初始点）y₀ = y(x₀)终点 x_end步长 h（>0）

常用方程示例库（点击一键填充）：

共计算 41 个点终点 y(3) = 54.597839y 范围：1 ~ 54.597839

解曲线 y(x)

数值采样表（均匀间隔，仅展示部分节点）

x	y(x)
1	1
1.1	1.1107106
1.2	1.2460767
1.3	1.4119899
1.4	1.6160743
1.55	2.0162713
1.65	2.3661161
1.75	2.8045687
1.85	3.357678
1.95	4.0602703
2.05	4.9592246
2.15	6.1180854
2.25	7.623602
2.35	9.5950626
2.45	12.197711
2.6	17.81423
2.7	23.219604
2.8	30.569299
2.9	40.649858
3	54.597839

完整 41 个节点见下方 JSON。

求解数据（JSON）

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{
  "solver": "RK4 (四阶龙格-库塔)",
  "equation": "x*y",
  "initial": {
    "x0": 1,
    "y0": 1
  },
  "step_size": 0.05,
  "points_count": 41,
  "sampled_data": [
    {
      "x": 1,
      "y": 1
    },
    {
      "x": 1.05,
      "y": 1.0525860037516277
    },
    {
      "x": 1.1,
      "y": 1.1107106028707099
    },
    {
      "x": 1.1500000000000001,
      "y": 1.1749786633595514
    },
    {
      "x": 1.2000000000000002,
      "y": 1.2460767091827263
    },
    {
      "x": 1.2500000000000002,
      "y": 1.3247847266242005
    },
    {
      "x": 1.3000000000000003,
      "y": 1.4119898733502605
    },
    {
      "x": 1.3500000000000003,
      "y": 1.5087024199586936
    },
    {
      "x": 1.4000000000000004,
      "y": 1.6160743124859567
    },
    {
      "x": 1.4500000000000004,
      "y": 1.7354208169166019
    },
    {
      "x": 1.5000000000000004,
      "y": 1.8682457936525338
    },
    {
      "x": 1.5500000000000005,
      "y": 2.0162712541473464
    },
    {
      "x": 1.6000000000000005,
      "y": 2.181471977142161
    },
    {
      "x": 1.6500000000000006,
      "y": 2.3661161126089074
    },
    {
      "x": 1.7000000000000006,
      "y": 2.5728128830614656
    },
    {
      "x": 1.7500000000000007,
      "y": 2.8045687110038675
    },
    {
      "x": 1.8000000000000007,
      "y": 3.0648533661265405
    },
    {
      "x": 1.8500000000000008,
      "y": 3.357678046481654
    },
    {
      "x": 1.9000000000000008,
      "y": 3.687687696623383
    },
    {
      "x": 1.9500000000000008,
      "y": 4.060270337811235
    },
    {
      "x": 2.000000000000001,
      "y": 4.481686759627761
    },
    {
      "x": 2.0500000000000007,
      "y": 4.959224621968467
    },
    {
      "x": 2.1000000000000005,
      "y": 5.501381870052562
    },
    {
      "x": 2.1500000000000004,
      "y": 6.1180854084959115
    },
    {
      "x": 2.2,
      "y": 6.820952257806569
    },
    {
      "x": 2.25,
      "y": 7.6236019829074895
    },
    {
      "x": 2.3,
      "y": 8.542031106967679
    },
    {
      "x": 2.3499999999999996,
      "y": 9.595062590403383
    },
    {
      "x": 2.3999999999999995,
      "y": 10.804886371202926
    },
    {
      "x": 2.4499999999999993,
      "y": 12.197710562420937
    },
    {
      "x": 2.499999999999999,
      "y": 13.804547353387143
    },
    {
      "x": 2.549999999999999,
      "y": 15.662163173358756
    },
    {
      "x": 2.5999999999999988,
      "y": 17.814229514762392
    },
    {
      "x": 2.6499999999999986,
      "y": 20.312719311387657
    },
    {
      "x": 2.6999999999999984,
      "y": 23.21960434588436
    },
    {
      "x": 2.7499999999999982,
      "y": 26.608922352854652
    },
    {
      "x": 2.799999999999998,
      "y": 30.56929896260705
    },
    {
      "x": 2.849999999999998,
      "y": 35.20703025102768
    },
    {
      "x": 2.8999999999999977,
      "y": 40.649857509092115
    },
    {
      "x": 2.9499999999999975,
      "y": 47.05159830358761
    },
    {
      "x": 2.9999999999999973,
      "y": 54.597838730992535
    }
  ],
  "final_point": {
    "x": 2.9999999999999973,
    "y": 54.597838730992535
  }
}

所有计算均在浏览器本地完成，不会上传任何数据。

乘积型：解 y' = x*y 数值解采样表

下表为采用四阶龙格-库塔法（RK4）在区间 [1, 3]、步长 0.05下计算的数值解（均匀采样 20 个节点）。完整数据可在上方工具中点击「复制 JSON」获取。

x	y(x)
1	1
1.1	1.110711
1.2	1.246077
1.3	1.41199
1.4	1.616074
1.55	2.016271
1.65	2.366116
1.75	2.804569
1.85	3.357678
1.95	4.06027
2.05	4.959225
2.15	6.118085
2.25	7.623602
2.35	9.595063
2.45	12.197711
2.6	17.81423
2.7	23.219604
2.8	30.569299
2.9	40.649858
3	54.597839

常见问题

什么是微分方程初值问题？

给定一个方程 dy/dx = f(x, y) 和起点 (x₀, y₀)，求 y 随 x 变化的函数。初值条件 y(x₀)=y₀ 唯一确定了数值解的路径。

RK4 是什么？精度如何？

四阶龙格-库塔法（Runge-Kutta），局部截断误差为 O(h⁵)，是工程与科研中最常用的高精度数值积分方法，比欧拉法稳定且精确得多。

步长 h 应该怎么选？

步长越小精度越高，但采样点越多、计算越慢。推荐 h 在 0.01~0.1 之间；若步数超过 2000 本工具会提示优化。解变化剧烈时可适当减小 h。

为什么很多方程没有解析解？

只有少数特殊形式（可分离变量、线性、恰当方程等）能写出闭式解。多数非线性方程没有解析解，数值解（如 RK4）是唯一可行的途径，也能画出解曲线直观观察。

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