一阶常微分方程数值求解公式
一阶常微分方程初值问题的标准写法是：
dy/dx = f(x, y)，且给定初值 y(x₀) = y₀
其中 f(x, y) 是你输入的方程右端（例如 -2*y + x、y*(1 - y)）。求解的目标，是找出一条过点 (x₀, y₀)、斜率处处等于 f(x, y) 的曲线 y(x)。
本工具采用**四阶龙格-库塔法（RK4）**做数值积分，递推公式为：
k₁ = f(xₙ, yₙ)
k₂ = f(xₙ+h/2, yₙ+h·k₁/2)
k₃ = f(xₙ+h/2, yₙ+h·k₂/2)
k₄ = f(xₙ+h, yₙ+h·k₃)
yₙ₊₁ = yₙ + h·(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄) / 6
xₙ₊₁ = xₙ + h这个微分方程求解器能做什么
- 求解任意可写成
dy/dx = f(x, y)的一阶常微分方程初值问题（线性、非线性均可）。 - 支持自然数学写法：
sin cos tan exp log sqrt pow abs、常量pi、e，变量x、y，幂用^或pow。 - 输出三部分：解曲线图、数值采样表、完整 JSON 数据，可直接复制用于论文、报告或下游程序。
- 内置 6 个经典方程示例（线性衰减、逻辑斯蒂增长、强迫振动、抛物线型、指数驱动、乘积型），一键填充。
- 全程在浏览器本地计算，不上传任何数据，隐私安全。
怎么使用（输入说明）
- 在「方程 dy/dx = f(x, y)」框里输入右端 f(x, y)，例如
-2*y + x。 - 填写
x₀（初始点）、y₀ = y(x₀)（初值）、x_end（求解终点）、h（步长，必须 > 0）。 - 结果实时计算，无需点击。点击示例库按钮可快速载入经典方程。
- 步长越小越精确，但点数越多；推荐
h在 0.01 ~ 0.1 之间。步数超过 2000 会提示优化。
注意：乘法必须显式写
*，例如2*y不能写成2y；这与大多数编程语言一致。
RK4 四阶龙格-库塔公式详解
龙格-库塔法的思想是：在每个步长内，不只看当前点的斜率（那是欧拉法），而是在区间中点取两次斜率、在端点取一次斜率，再加权平均，从而得到远高于欧拉法的精度。
- 欧拉法：局部截断误差 O(h²)，误差随步数累积很快。
- RK4：局部截断误差 O(h⁵)，全局误差约 O(h⁴)，在同样步长下精度高出一个数量级。
对绝大多数没有解析解的非线性方程，RK4 是工程与科研里性价比最高的默认选择：实现简单、稳定、精度足够。
计算实例
以方程 dy/dx = -2*y + x、初值 y(0) = 1、区间 [0, 2]、步长 h = 0.05 为例，部分数值解如下：
| x | y(x) |
|---|---|
| 0.00 | 1.00000000 |
| 0.15 | 0.75102303 |
| 0.30 | 0.58601492 |
| 0.45 | 0.48321249 |
| 0.60 | 0.42649317 |
| 0.75 | 0.40391308 |
| 0.90 | 0.40662395 |
| 1.05 | 0.42807083 |
| 1.20 | 0.46339769 |
| 1.35 | 0.50900710 |
| 1.50 | 0.56223400 |
| 1.65 | 0.62110410 |
| 2.00 | 0.77289463 |
可以看到 y 先从 1 下降、在约 x≈0.8 处触底（≈0.402），随后缓慢回升——这正是受迫线性衰减的典型形态。点上方「微分方程求解器」即可输入同样的参数复现。
常见问题 FAQ
Q：RK4 一定能收敛到真解吗？ 对满足 Lipschitz 条件的常规方程，RK4 稳定收敛；但若方程本身刚性很强（解在短时间内剧烈变化），需要更小的步长或专门的刚性求解器。
Q：为什么有时结果会“发散”到无穷？
例如逻辑斯蒂方程若初值/区间设置极端，或方程本身解就在有限时间内爆破（如 y' = y² 且 y₀>0），数值解会如实反映这种发散，这是方程性质而非工具错误。
Q：能解二阶或偏微分方程吗？ 本工具专注一阶常微分方程初值问题。二阶方程可手动降阶为两个一阶方程的方程组后再逐段求解；偏微分方程（PDE）超出本工具范围。
Q：和符号计算软件（如 Mathematica）的区别？ 符号软件能给出闭式解析解，但仅对少数特殊方程可行；本工具做的是数值解，覆盖几乎所有一阶 ODE，并以曲线和表格直观呈现，适合验证、教学与工程快速仿真。