指数驱动：解 y' = exp(-x) - 2*y

一阶常微分方程 RK4 数值解

方程 dy/dx = f(x, y)

支持 sin cos tan exp log sqrt pow abs 与常量 pi、e，变量 x、y；乘法需显式写*，幂用^或pow。

x₀（初始点）y₀ = y(x₀)终点 x_end步长 h（>0）

常用方程示例库（点击一键填充）：

共计算 61 个点终点 y(3) = 0.049787091y 范围：0.049787091 ~ 1

解曲线 y(x)

数值采样表（均匀间隔，仅展示部分节点）

x	y(x)
0	1
0.15	0.86070803
0.3	0.74081831
0.45	0.63762826
0.65	0.5220459
0.8	0.44932908
0.95	0.38674114
1.1	0.33287119
1.25	0.2865049
1.4	0.24659705
1.6	0.2018966
1.75	0.17377401
1.9	0.14956868
2.05	0.12873496
2.2	0.11080321
2.35	0.095369204
2.55	0.078081701
2.7	0.067205543
2.85	0.057844347
3	0.049787091

完整 61 个节点见下方 JSON。

求解数据（JSON）

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{
  "solver": "RK4 (四阶龙格-库塔)",
  "equation": "exp(-x) - 2*y",
  "initial": {
    "x0": 0,
    "y0": 1
  },
  "step_size": 0.05,
  "points_count": 61,
  "sampled_data": [
    {
      "x": 0,
      "y": 1
    },
    {
      "x": 0.05,
      "y": 0.951229446998071
    },
    {
      "x": 0.1,
      "y": 0.9048374597925598
    },
    {
      "x": 0.15000000000000002,
      "y": 0.860708034564446
    },
    {
      "x": 0.2,
      "y": 0.8187308250483352
    },
    {
      "x": 0.25,
      "y": 0.7788008666121574
    },
    {
      "x": 0.3,
      "y": 0.7408183137934828
    },
    {
      "x": 0.35,
      "y": 0.704688190636182
    },
    {
      "x": 0.39999999999999997,
      "y": 0.6703201532031688
    },
    {
      "x": 0.44999999999999996,
      "y": 0.6376282636714021
    },
    {
      "x": 0.49999999999999994,
      "y": 0.6065307754442876
    },
    {
      "x": 0.5499999999999999,
      "y": 0.5769499287441641
    },
    {
      "x": 0.6,
      "y": 0.5488117561737662
    },
    {
      "x": 0.65,
      "y": 0.5220458977604789
    },
    {
      "x": 0.7000000000000001,
      "y": 0.49658542502091124
    },
    {
      "x": 0.7500000000000001,
      "y": 0.4723666736058708
    },
    {
      "x": 0.8000000000000002,
      "y": 0.4493290841072748
    },
    {
      "x": 0.8500000000000002,
      "y": 0.42741505062894053
    },
    {
      "x": 0.9000000000000002,
      "y": 0.4065697767426134
    },
    {
      "x": 0.9500000000000003,
      "y": 0.3867411384690541
    },
    {
      "x": 1.0000000000000002,
      "y": 0.3678795539415737
    },
    {
      "x": 1.0500000000000003,
      "y": 0.3499378594261142
    },
    {
      "x": 1.1000000000000003,
      "y": 0.3328711913878656
    },
    {
      "x": 1.1500000000000004,
      "y": 0.3166368743095296
    },
    {
      "x": 1.2000000000000004,
      "y": 0.30119431398072244
    },
    {
      "x": 1.2500000000000004,
      "y": 0.2865048959916886
    },
    {
      "x": 1.3000000000000005,
      "y": 0.2725318891775106
    },
    {
      "x": 1.3500000000000005,
      "y": 0.2592403537713789
    },
    {
      "x": 1.4000000000000006,
      "y": 0.24659705403726034
    },
    {
      "x": 1.4500000000000006,
      "y": 0.2345703751635038
    },
    {
      "x": 1.5000000000000007,
      "y": 0.22313024420957656
    },
    {
      "x": 1.5500000000000007,
      "y": 0.21224805490825976
    },
    {
      "x": 1.6000000000000008,
      "y": 0.20189659613527072
    },
    {
      "x": 1.6500000000000008,
      "y": 0.19204998386745115
    },
    {
      "x": 1.7000000000000008,
      "y": 0.18268359645938323
    },
    {
      "x": 1.7500000000000009,
      "y": 0.17377401307659246
    },
    {
      "x": 1.800000000000001,
      "y": 0.16529895513139006
    },
    {
      "x": 1.850000000000001,
      "y": 0.15723723057491507
    },
    {
      "x": 1.900000000000001,
      "y": 0.1495686809060784
    },
    {
      "x": 1.950000000000001,
      "y": 0.14227413076490483
    },
    {
      "x": 2.000000000000001,
      "y": 0.13533533998423086
    },
    {
      "x": 2.0500000000000007,
      "y": 0.12873495797986334
    },
    {
      "x": 2.1000000000000005,
      "y": 0.12245648036515179
    },
    {
      "x": 2.1500000000000004,
      "y": 0.11648420768148846
    },
    {
      "x": 2.2,
      "y": 0.11080320614154182
    },
    {
      "x": 2.25,
      "y": 0.10539927028706161
    },
    {
      "x": 2.3,
      "y": 0.1002588874678809
    },
    {
      "x": 2.3499999999999996,
      "y": 0.09536920405329488
    },
    {
      "x": 2.3999999999999995,
      "y": 0.09071799329132742
    },
    {
      "x": 2.4499999999999993,
      "y": 0.08629362473551738
    },
    {
      "x": 2.499999999999999,
      "y": 0.08208503516277596
    },
    {
      "x": 2.549999999999999,
      "y": 0.07808170090959494
    },
    {
      "x": 2.5999999999999988,
      "y": 0.0742736115574322
    },
    {
      "x": 2.6499999999999986,
      "y": 0.07065124490147452
    },
    {
      "x": 2.6999999999999984,
      "y": 0.06720554314018683
    },
    {
      "x": 2.7499999999999982,
      "y": 0.06392789022610947
    },
    {
      "x": 2.799999999999998,
      "y": 0.060810090321268946
    },
    {
      "x": 2.849999999999998,
      "y": 0.057844347303329685
    },
    {
      "x": 2.8999999999999977,
      "y": 0.0550232452712415
    },
    {
      "x": 2.9499999999999975,
      "y": 0.05233973000163703
    },
    {
      "x": 2.9999999999999973,
      "y": 0.04978709130961055
    }
  ],
  "final_point": {
    "x": 2.9999999999999973,
    "y": 0.04978709130961055
  }
}

所有计算均在浏览器本地完成，不会上传任何数据。

指数驱动：解 y' = exp(-x) - 2*y 数值解采样表

下表为采用四阶龙格-库塔法（RK4）在区间 [0, 3]、步长 0.05下计算的数值解（均匀采样 20 个节点）。完整数据可在上方工具中点击「复制 JSON」获取。

x	y(x)
0	1
0.15	0.860708
0.3	0.740818
0.45	0.637628
0.65	0.522046
0.8	0.449329
0.95	0.386741
1.1	0.332871
1.25	0.286505
1.4	0.246597
1.6	0.201897
1.75	0.173774
1.9	0.149569
2.05	0.128735
2.2	0.110803
2.35	0.095369
2.55	0.078082
2.7	0.067206
2.85	0.057844
3	0.049787

常见问题

什么是微分方程初值问题？

给定一个方程 dy/dx = f(x, y) 和起点 (x₀, y₀)，求 y 随 x 变化的函数。初值条件 y(x₀)=y₀ 唯一确定了数值解的路径。

RK4 是什么？精度如何？

四阶龙格-库塔法（Runge-Kutta），局部截断误差为 O(h⁵)，是工程与科研中最常用的高精度数值积分方法，比欧拉法稳定且精确得多。

步长 h 应该怎么选？

步长越小精度越高，但采样点越多、计算越慢。推荐 h 在 0.01~0.1 之间；若步数超过 2000 本工具会提示优化。解变化剧烈时可适当减小 h。

为什么很多方程没有解析解？

只有少数特殊形式（可分离变量、线性、恰当方程等）能写出闭式解。多数非线性方程没有解析解，数值解（如 RK4）是唯一可行的途径，也能画出解曲线直观观察。

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指数驱动：解 y' = exp(-x) - 2*y 数值解采样表

常见问题

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